पूर्ण घन
वह संख्या जिसका घनमूल एक प्राकृत संख्या होती है, पूर्ण घन (Perfect Cube) कहलाती है। जैसे- 125 एक पूर्ण घन है क्योंकि 125 का घनमूल 5 होता है, जो एक प्राकृत संख्या है।
पूर्ण घन से सम्बंधित अवधारणाएं और परिणाम:-
- एक प्राकृत संख्या एक पूर्ण घन कहलाती है, यदि वह किसी प्राकृत संख्या का घन है। अर्थात् यदि m = n3 हो, तो m एक पूर्ण घन है, जहाँ m और n प्राकृत संख्याएँ हैं।
- जब किसी संख्या को स्वयं से तीन बार गुणा किया जाए तो उससे प्राप्त संख्या उस संख्या का घन कहलाती है।
- सम संख्याओं के वर्ग और घन, सम संख्याएँ होती हैं।
- विषम संख्याओं के वर्ग और घन, विषम संख्याएँ होती हैं।
- एक पूर्ण घन (1 के अतिरिक्त) को सदैव समान अभाज्य गुणनखंडों के त्रिकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
घन किसे कहते है?
गणित में जब किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करके पुनः उसी संख्या से गुणा किया जाता हैं तो प्राप्त गुणनफल को ही संख्या का घन (Cube) कहते हैं।
उदाहरण के लिए:-
4³ = 4 × 4 × 4 = 64
11³ = 11 × 11 × 11 = 1331
20³ = 20 × 20 × 20 = 8000
पूर्ण घन संख्या
जैसा कि हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि संख्या पद्धति में जिसका घनमूल एक प्राकृत संख्या होती है, पूर्ण घन संख्या (Perfect Cube Number) कहलाती है। पूर्ण घन संख्या हमेशा x3 के रूप में पाई जातीं हैं। जैसे – 125 = 53.
घनमूल
यदि किसी घन का आयतन 125 cm³ है, तो उसकी भुजा की लंबाई क्या होगी? इस घन की भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए हमें एक ऐसी संख्या ज्ञात करनी होगी, जिसका घन 125 हो।
जैसा कि आप जानते हैं कि ‘वर्गमूल‘ ज्ञात करना ‘वर्ग करने की संक्रिया की प्रतिलोम संक्रिया है।’ इसी प्रकार ‘घनमूल’ (cube-root) ज्ञात करने की संक्रिया घन (ज्ञात) करने की संक्रिया की प्रतिलोम संक्रिया है।
हम जानते हैं कि 2³ = 8 है। इसलिए हम कहते हैं कि 8 का घनमूल (cube-root) 2 है।
1 से 10 तक का घन
| 1³ | 1 |
| 2³ | 8 |
| 3³ | 27 |
| 4³ | 64 |
| 5³ | 125 |
| 6³ | 216 |
| 7³ | 343 |
| 8³ | 512 |
| 9³ | 729 |
| 10³ | 1,000 |
11 से 20 तक का घन
| 11³ | 1,331 |
| 12³ | 1,728 |
| 13³ | 2,197 |
| 14³ | 2,744 |
| 15³ | 3,375 |
| 16³ | 4,096 |
| 17³ | 4,913 |
| 18³ | 5,832 |
| 19³ | 6,859 |
| 20³ | 8,000 |
21 से 30 तक का घन
| 21³ | 9,261 |
| 22³ | 10,648 |
| 23³ | 12,167 |
| 24³ | 13,824 |
| 25³ | 15,625 |
| 26³ | 17,576 |
| 27³ | 19,683 |
| 28³ | 21,952 |
| 29³ | 24,389 |
| 30³ | 27,000 |
31 से 40 तक का घन
| 31³ | 29,791 |
| 2³ | 32,768 |
| 33³ | 35,937 |
| 34³ | 39,304 |
| 35³ | 42,875 |
| 36³ | 46,656 |
| 37³ | 50,653 |
| 38³ | 54,872 |
| 39³ | 59,319 |
| 40³ | 64,000 |
41 से 50 तक का घन
| 41³ | 68,921 |
| 42³ | 74,088 |
| 43³ | 79,507 |
| 44³ | 85,184 |
| 45³ | 91,125 |
| 46³ | 97,336 |
| 47³ | 103,823 |
| 48³ | 110,592 |
| 49³ | 117,649 |
| 50³ | 125,000 |
51 से 60 तक का घन
| 51³ | 132,651 |
| 52³ | 140,608 |
| 53³ | 148,877 |
| 54³ | 157,464 |
| 55³ | 166,375 |
| 56³ | 175,616 |
| 57³ | 185,193 |
| 58³ | 195,112 |
| 59³ | 205,379 |
| 60³ | 216,000 |
61 से 70 तक का घन
| 61³ | 226,981 |
| 62³ | 238,328 |
| 63³ | 250,047 |
| 64³ | 262,144 |
| 65³ | 274,625 |
| 66³ | 287,496 |
| 67³ | 300,763 |
| 68³ | 314,432 |
| 69³ | 328,509 |
| 70³ | 343,000 |
71 से 80 तक का घन
| 71³ | 357,911 |
| 72³ | 373,248 |
| 73³ | 389,017 |
| 74³ | 405,224 |
| 75³ | 421,875 |
| 76³ | 438,976 |
| 77³ | 456,533 |
| 78³ | 474,552 |
| 79³ | 493,039 |
| 80³ | 512,000 |
81 से 90 तक का घन
| 81³ | 531,441 |
| 82³ | 551,368 |
| 83³ | 571,787 |
| 84³ | 592,704 |
| 85³ | 614,125 |
| 86³ | 636,056 |
| 87³ | 658,503 |
| 88³ | 681,472 |
| 89³ | 704,969 |
| 90³ | 729,000 |
91 से 100 तक का घन
| 91³ | 753,571 |
| 92³ | 778,688 |
| 93³ | 804,357 |
| 94³ | 830,584 |
| 95³ | 857,375 |
| 96³ | 884,736 |
| 97³ | 912,673 |
| 98³ | 941,192 |
| 99³ | 970,299 |
| 100³ | 1,000,000 |
हार्डी-रामानुजन संख्या
यह कहानी भारत की महान गणितीय प्रतिभावान विभूतियों में से एक एस. रामानुज एक बार एक अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञ प्रोफेसर जी. एच. हार्डी उनसे मिलने एक टैक्सी नंबर 1729 था। रामानुजन से बात करते समय, हार्डी ने इस संख्या को ‘एक नीरस’ (dull) संख्या बताया।
रामानुजन ने तुरंत बताया कि 1729 वास्तव में एक रोचक संख्या थी। उन्होंने कहा कि यह ऐसी सबसे छोटी संख्या है जिसे दो घनों (cubes) के योग के रूप में दो भिन्न प्रकारों से व्यक्त किया जा सकता है:
1729 = 1728 + 1 = 12³ + 1³’
1729 = 1000 + 729= 10³ + 9³
तब से इस संख्या 1729 को हार्डी-रामानुजन संख्या (Hardy – Ramanujan Number) कहा जाने लगा, यद्यपि 1729 की यह विशेषता रामानुजन से लगभग 300 वर्ष पूर्व भी ज्ञात थी।
1729 सबसे छोटी हार्डी-रामानुजन संख्या है। इस प्रकार की अनेक संख्याएँ हैं उनमें से कुछ = 4104, (2,16; 9, 15), 13832, (18, 20; 2,024) कोष्ठकों में दी हुई संख्याएँ लेकर इसकी जाँच कीजिए।
