पूर्ण घन – Perfect Cube – घनमूल

Purn Ghan
Purn Ghan

पूर्ण घन

वह संख्या जिसका घनमूल एक प्राकृत संख्या होती है, पूर्ण घन (Perfect Cube) कहलाती है। जैसे- 125 एक पूर्ण घन है क्योंकि 125 का घनमूल 5 होता है, जो एक प्राकृत संख्या है।

पूर्ण घन से सम्बंधित अवधारणाएं और परिणाम:-

  • एक प्राकृत संख्या एक पूर्ण घन कहलाती है, यदि वह किसी प्राकृत संख्या का घन है। अर्थात् यदि m = n3 हो, तो m एक पूर्ण घन है, जहाँ m और n प्राकृत संख्याएँ हैं।
  • जब किसी संख्या को स्वयं से तीन बार गुणा किया जाए तो उससे प्राप्त संख्या उस संख्या का घन कहलाती है।
  • सम संख्याओं के वर्ग और घन, सम संख्याएँ होती हैं।
  • विषम संख्याओं के वर्ग और घन, विषम संख्याएँ होती हैं।
  • एक पूर्ण घन (1 के अतिरिक्त) को सदैव समान अभाज्य गुणनखंडों के त्रिकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

घन किसे कहते है?

गणित में जब किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करके पुनः उसी संख्या से गुणा किया जाता हैं तो प्राप्त गुणनफल को ही संख्या का घन (Cube) कहते हैं।

उदाहरण के लिए:-
4³ = 4 × 4 × 4 = 64
11³ = 11 × 11 × 11 = 1331
20³ = 20 × 20 × 20 = 8000

पूर्ण घन संख्या

जैसा कि हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि संख्या पद्धति में  जिसका घनमूल एक प्राकृत संख्या होती है, पूर्ण घन संख्या (Perfect Cube Number) कहलाती है। पूर्ण घन संख्या हमेशा x3 के रूप में पाई जातीं हैं। जैसे – 125 = 53.

घनमूल

यदि किसी घन का आयतन 125 cm³ है, तो उसकी भुजा की लंबाई क्या होगी? इस घन की भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए हमें एक ऐसी संख्या ज्ञात करनी होगी, जिसका घन 125 हो।

जैसा कि आप जानते हैं कि ‘वर्गमूल‘ ज्ञात करना ‘वर्ग करने की संक्रिया की प्रतिलोम संक्रिया है।’ इसी प्रकार ‘घनमूल’ (cube-root) ज्ञात करने की संक्रिया घन (ज्ञात) करने की संक्रिया की प्रतिलोम संक्रिया है।

हम जानते हैं कि 2³ = 8 है। इसलिए हम कहते हैं कि 8 का घनमूल (cube-root) 2 है।

1 से 10 तक का घन

1
8
27
64
125
216
343
512
729
10³ 1,000

11 से 20 तक का घन

11³ 1,331
12³ 1,728
13³ 2,197
14³ 2,744
15³ 3,375
16³ 4,096
17³ 4,913
18³ 5,832
19³ 6,859
20³ 8,000

21 से 30 तक का घन

21³ 9,261
22³ 10,648
23³ 12,167
24³ 13,824
25³ 15,625
26³ 17,576
27³ 19,683
28³ 21,952
29³ 24,389
30³ 27,000

31 से 40 तक का घन

31³ 29,791
32,768
33³ 35,937
34³ 39,304
35³ 42,875
36³ 46,656
37³ 50,653
38³ 54,872
39³ 59,319
40³ 64,000

41 से 50 तक का घन

41³ 68,921
42³ 74,088
43³ 79,507
44³ 85,184
45³ 91,125
46³ 97,336
47³ 103,823
48³ 110,592
49³ 117,649
50³ 125,000

51 से 60 तक का घन

51³ 132,651
52³ 140,608
53³ 148,877
54³ 157,464
55³ 166,375
56³ 175,616
57³ 185,193
58³ 195,112
59³ 205,379
60³ 216,000

61 से 70 तक का घन

61³ 226,981
62³ 238,328
63³ 250,047
64³ 262,144
65³ 274,625
66³ 287,496
67³ 300,763
68³ 314,432
69³ 328,509
70³ 343,000

71 से 80 तक का घन

71³ 357,911
72³ 373,248
73³ 389,017
74³ 405,224
75³ 421,875
76³ 438,976
77³ 456,533
78³ 474,552
79³ 493,039
80³ 512,000

81 से 90 तक का घन

81³ 531,441
82³ 551,368
83³ 571,787
84³ 592,704
85³ 614,125
86³ 636,056
87³ 658,503
88³ 681,472
89³ 704,969
90³ 729,000

91 से 100 तक का घन

91³ 753,571
92³ 778,688
93³ 804,357
94³ 830,584
95³ 857,375
96³ 884,736
97³ 912,673
98³ 941,192
99³ 970,299
100³ 1,000,000

हार्डी-रामानुजन संख्या

यह कहानी भारत की महान गणितीय प्रतिभावान विभूतियों में से एक एस. रामानुज एक बार एक अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञ प्रोफेसर जी. एच. हार्डी उनसे मिलने एक टैक्सी नंबर 1729 था। रामानुजन से बात करते समय, हार्डी ने इस संख्या को ‘एक नीरस’ (dull) संख्या बताया।

रामानुजन ने तुरंत बताया कि 1729 वास्तव में एक रोचक संख्या थी। उन्होंने कहा कि यह ऐसी सबसे छोटी संख्या है जिसे दो घनों (cubes) के योग के रूप में दो भिन्न प्रकारों से व्यक्त किया जा सकता है:

1729 = 1728 + 1 = 12³ + 1³’
1729 = 1000 + 729= 10³ + 9³

तब से इस संख्या 1729 को हार्डी-रामानुजन संख्या (Hardy – Ramanujan Number) कहा जाने लगा, यद्यपि 1729 की यह विशेषता रामानुजन से लगभग 300 वर्ष पूर्व भी ज्ञात थी।

1729 सबसे छोटी हार्डी-रामानुजन संख्या है। इस प्रकार की अनेक संख्याएँ हैं उनमें से कुछ = 4104, (2,16; 9, 15), 13832, (18, 20; 2,024) कोष्ठकों में दी हुई संख्याएँ लेकर इसकी जाँच कीजिए।

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