अभाज्य गुणनखंड, भाजक एवं उनकी संख्या ज्ञात करना

अभाज्य गुणनखंड, अभाज्य भाजक एवं उनकी संख्या ज्ञात करना

किसी संख्या को अन्य संख्याओं के गुणनफल (product) के रूप में तोडने की क्रिया को गणित में गुणनखण्ड (factorization) कहते हैं। किसी संख्या के गुणनखण्डों को परस्पर गुणा करने पर वह मूल संख्या पुनः प्राप्त हो जाती है। जैसे:-

3 के गुणनखंड = 1 × 3
4 के गुणनखंड = 1 × 4 या 2 × 2 (अतः यहाँ 4 के कुल गुणनखंड 4 होंगे)
5 के गुणनखंड = 1 × 5
10 के गुणनखंड = 2 × 5 या 1 × 10
10 के कुल गुणनखंड = 1, 2, 5, 10
25 के कुल गुणनखंड = 1, 5, 25

अभाज्य गुणनखंड (अभाज्य भाजक) की संख्या ज्ञात करना

Q:- 72 में कुल अभाज्य गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करो।

Q:- 100 में कुल अभाज्य गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करो।

Q:- 1200 में कुल अभाज्य गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करो।

= 12 × 100
= 3 × 4 × 2² × 5²
= 3¹ × 2² × 2² × 5²
= 3¹ × 2^{2 + 2} × 5²
= 3¹ × 2⁴ × 5²
अभाज्य गुणनखंडों की संख्या = 1 + 4 + 2
= 7 अभाज्य गुणनखंड

Q:- 52¹⁰ × 26⁵ × 51²⁰ में कुल अभाज्य गुणनखंडों की संख्या?

= (13 × 4)¹⁰ × (13 × 2)⁵ × (17 × 3)²⁰
= (13 × 2²)¹⁰ × (13 × 2)⁵ × (17 × 3)²⁰
= 13¹⁰ × (2²)¹⁰ × 13⁵ × 2⁵ × 17²⁰ × 3²⁰
= 13¹⁰ × 2²⁰ × 13⁵ × 2⁵ × 17²⁰ × 3²⁰
= 2^{20 + 5} × 3²⁰ × 13^{10 + 5} × 17²⁰
= 2²⁵ × 3²⁰ × 13¹⁵ × 17²⁰
अभाज्य गुणनखंडों की संख्या = 25 + 20 + 15 + 20
= 80 अभाज्य गुणनखंड

Q:- 80¹⁰ में कुल अभाज्य गुणनखंडों की संख्या?

= (16 × 5)¹⁰
= (2⁴ × 5)¹⁰
= (2⁴)¹⁰ × 5¹⁰
= 2^{4 × 10} × 5¹⁰
= 2⁴⁰ × 5¹⁰
अभाज्य गुणनखंडों की संख्या = 40 + 10
= 50 अभाज्य गुणनखंड

Q:- 18¹⁰ × 15²⁰ × 12⁵ में कुल अभाज्य गुणनखंडों की संख्या?

= (2 × 9)¹⁰ × (3 × 5)²⁰ × (3 × 4)⁵
= (2 × 3²)¹⁰ × 3²⁰ × 5²⁰ × (3 × 2²)⁵
= 2¹⁰ × (3²)¹⁰ × 3²⁰ × 5²⁰ × 3⁵ × (2²)⁵
= 2¹⁰ × 3²⁰ × 3²⁰ × 5²⁰ × 3⁵ × 2¹⁰
= 2^{10 + 10} × 3^{20 + 20 + 5} × 5²⁰
= 2²⁰ × 3⁴⁵ × 5²⁰
अभाज्य गुणनखंडों की संख्या = 20 + 45 + 20
= 85 अभाज्य गुणनखंड

भाजकों (गुणनखंडो) की कुल संख्या ज्ञात करना

1. कुल भाजकों की संख्या ज्ञात करनें के लिए सबसे पहले संख्या को घातांकीय रूप में लिखते हैं।
2. फिर घातों में 1 जोड़कर गुणा करते हैं। जैसे:-

Q:- 100 के कुल भाजकों (गुणनखंडो) की संख्या कितनी हैं?

= 100
= 2² × 5²
कुल भाजक (गुणनखंड) की संख्या = (2 + 1) × (2 + 1)
= 3 × 3
कुल भाजक (गुणनखंड) = 9

Q:- 120 के गुणनखंडो की संख्या कितनी हैं?

= 120
= 2 × 2 × 2 × 3 × 5
= 2³ × 3¹ × 5¹
भाजक (गुणनखंड) की संख्या = (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1)
= 4 × 2 × 2
= 16 भाजक (गुणनखंड)

अभाज्य गुणनखंडों की संख्या के लिए घातों का योग किया जाता है जबकि कुल गुणनखंडो (भाजकों) की संख्या ज्ञात करने के लिए घातों में 1 जोड़कर गुणा कर दिया जाता है।

अभ्यासार्थ प्रश्न

• 1200 के कुल भाजकों (गुणनखंडो) की संख्या कितनी हैं?
• 800 के गुणनखंडो की संख्या कितनी हैं?
• 700 के भाजकों की संख्या कितनी हैं?
• 1000 के कुल गुणनखंडो की संख्या कितनी हैं?