परिमेय तथा अपरिमेय संख्याएँ – Rational and Irrational Numbers

गणित के संख्या पद्धति में परिमेय तथा अपरिमेय संख्या के टॉपिक में अधिकतर अभ्यर्थी दोनों के बीच विभेद स्थापित नहीं कर पाते इसलिये यहाँ पर आपके लिए हमें लेकर आये हैं सरल शब्दों में परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा एवं अर्थ।

परिमेय तथा अपरिमेय संख्या

परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

जिन संख्याओं का मान या तो निश्चित (Definite) होता है या सतत (Continues) होता है, ऐसी संख्याओं को परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) कहा जाता है। जैसे –

1, 2, 3, . . . . . . .

0

-1, -2, -3, . . . . . . . .

²²⁄₇, ³⁄₄, 3.14

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

जिन संख्याओं का मान ना ही निश्चित होता है और ना ही सतत होता है, ऐसी संख्याओं को अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) कहा जाता है। अर्थात जिन संख्याओं का मान अनिश्चित (Indefinite) होता है। जैसे – √2, √3, √5 आदि।

सतत एवं असतत और निश्चित एवं अनिश्चित मान

जैसा कि हम जानते हैं दुनिया में कोई भी संख्या होती है उसकी कोई ना कोई वैल्यू (Value, मान) या तो होगी या फिर नहीं होगी। इस आधार पर संख्याओं को दो भागों में विभाजित करते हैं।

1. पहली वे संख्याएँ होगी जिनका कोई ना कोई मान अवश्य होगा यानि कि वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers); जैसे-  1, 0, -1, ³⁄₄, 3.14 आदि,
2. दूसरी वे संख्याएँ वे होंगी जिनका कोई मान नहीं होगा यानि कि अवास्तविक संख्याएँ (Imaginary Numbers); जैसे- √-2, √-4, या √2i, 2i आदि। यहाँ “i” का मान √-1 है जो परिभाषित नहीं है इसलिए यह एक काल्पनिक संख्या (Imaginary Number) है।

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) यानि कि जिनका कोई ना कोई मान होता है वह मान दो प्रकार का हो सकता है। या तो इन संख्याओं का मान निश्चित होगा या फिर अनिश्चित।

1. संख्याओं के निश्चित मान का तात्पर्य ऐसी संख्याओं से है जो किसी ना किसी रूप एक मान (Value) अवश्य देती हैं। जैसे – 22⁄7, 3⁄4, 3.14 आदि।
2. संख्याओं के अनिश्चित मान का तात्पर्य ऐसी संख्याओं से है जिनका एक सीमित मान नहीं होता हैं। जैसे – 0.333……, 0.336336336….., 1.41421356237…….., √2, √3, √5 आदि का मान।

√2 = 1.41421356237……..

√3 = 1.73205080757………

जैसा की आपने ऊपर देखा कि संख्याओं के अनिश्चित मान दो प्रकार के दिखाई पड़ रहे हैं –

1. एक वे जिनमें संख्याओं का दोहराव हो रहा है; जैसे  0.333……, 0.336336336….. आदि। इस प्रकार की संख्याओं को सतत संख्याएँ (Continuous Numbers) कहते हैं।
2. दूसरे वे जिनमें संख्याओं का दोहराव नहीं हो रहा है अर्थात संख्याओं के मान का बढ़ने का कोई क्रम नहीं है; जैसे – √2 (1.41421356237……..), √3 (1.73205080757………), √5 (2.2360679775…..) आदि। इस प्रकार की संख्याओं को असतत संख्याएँ (Discrete Numbers) कहते हैं।

निम्न कथन पर विचार करें –

1. सभी परिमेय संख्याओं का मान निश्चित होता है। (सत्य/असत्य)
2. जिन संख्याओं का मान निश्चित नहीं होता ऐसी सभी संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं। (सत्य/असत्य)

ऊपर दिए गए दोनों कथन असत्य हैं।