शून्यों की संख्या कैसे ज्ञात करें – short trick

किसी संख्या के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात करना

शून्यों की संख्या ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित तथ्यों पर गौर करना होगा:-

1. किसी संख्या के अंत में शून्य लाने के लिए 2 और 5 जिम्मेदार होता हैं।
2. संख्याओं में 2 और 5 के जितनें जोड़े बनेगें उस संख्या गुणनफल के अंत में उतने ही शून्य होंगे।

उदाहरण के लिए:-

Question:- 15 × 25 × 8 का गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

= 15 × 25 × 8
= 3 × 5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2 (गुणनखंड करनें पर, 2 और 5 के तीन जोड़े बन रहे हैं)
= 3 × 10 × 10 × 10 (अब यहॉं आप साफ साफ देख सकतें हैं 2 और 5 के जितनें जोड़े बन रहे हैं शून्य भी उतने ही बन रहे हैं)
= 3000 (2 और 5 के तीन जोड़े बन रहे थे, अतः संख्या के अंत में शून्य की संख्या भी 3 ही होगी)

Question:- 1 से 100 तक की सभी संख्यों की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

या 1 × 2 × 3………….100 के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

या 100! के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी? (100! = 100 × 99 × 98 × 97……………1)

Question:- 1 से 75 तक की सभी संख्यों की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

नोट:- अधिकतर प्रश्नों में 2 के जोड़ें हमेशा ही 5  से ज्यादा बनेंगे, अतः हम केवल 5 से ही भाग देकर पता कर सकते हैं कि 2 और 5 के कितने जोड़ें बन रहे हैं।

= अब इस प्रश्न में अंतिम संख्या 75 है, अतः 75 में 5 से भाग देंगे।

= 75 में 5 से भाग देनें पर भागफल 15, 3 मिलेगा। जोकि जोड़ने पर 18 होता है। अतः 5 के कुल 18 जोड़े बनेगे।
= 2 और 5 के 18 जोड़ें बनेंगे।
= 18 शून्य (अतः 1 से 75 तक की सभी संख्यों की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या 18 होगी।)

दो संख्याओं की गुणा करते समय, यदि उन संख्याओं के अंत में शून्य होते हैं तो गुणनफल में शून्य का योग करके लिख देते हैं। जैसे:-

200 × 3000 = 600000

Question:- 150! × 250! × 100! का गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

= जैसा कि आप जानते हैं कि 150! (150 फ़ेक्टोरियल) = 150 × 149 × 148 ×. . . . . . . . . 1, होता है, इसी प्रकार 250! × 100!, अर्थात अलग अलग क्रमशः 150, 250, 100 तक की संख्याओं का गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या।
= अतः 150, 250, 100 में 5 से भाग देंगे।
= 150 में 5 से भाग देनें पर भागफल 30, 6, 1 मिलेगा। जोकि जोड़ने पर 37 होता है।
= 250 में 5 से भाग देनें पर भागफल 50, 10, 2 मिलेगा। जोकि जोड़ने पर 62 होता है।
= 100 में 5 से भाग देनें पर भागफल 20, 4 मिलेगा। जोकि जोड़ने पर 24 होता है।
= अतः कुल 5 के जोड़ें 37 + 62 + 24 = 123 होंगे।
= 123 शून्य (150! × 250! × 100! का गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या 123 होगी।)

सम या विषम संख्याओं का गुणा करने पर अंत में शून्यों की संख्या

Question:- 1 से 100 तक की सभी सम संख्याओं की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

या 2 ×4 × 6 × . . . . . . . . . . . . 100 का गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या?

सम संख्याओं के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात करने के लिए सबसे अंतिम संख्या को आधा करके 5 से लगातार भाग देते हैं।

= उपरोक्त प्रश्न में अंतिम सम संख्या 100 है जिसको आधा करने, अर्थात 2 से भाग देनें पर 50 प्राप्त होता है।
= 50 में 5 से भाग देनें पर भागफल 10, 2 मिलेगा। जोकि जोड़ने पर 12 होता है। अतः 5 के कुल 12 जोड़े बनेगे।
= 12 शून्य (अतः उपरोक्त प्रश्न का गुणा करने पर अंत में 12 शून्य प्राप्त होंगे)

Question:- 1 से 75 तक की सभी सम संख्याओं की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या?

= 2 × 4 × 6 × . . . . . . . . . . 74 (क्यूंकि 1 और 75 सम संख्या नहीं है)
= अंतिम सम संख्या 74 को आधा करनें पर = 37
= 37 में 5 से भाग देनें पर भागफल 7, 1 मिलेगा। जोकि जोड़ने पर 8 होता है।
= 8 शून्य

Question:- 1 से 225 तक की सभी सम संख्याओं की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या?

= 2 × 4 × 6 × . . . . . . . . . . 224
= अंतिम सम संख्या 224 को आधा करनें पर = 112
= 112 में 5 से भाग देनें पर भागफल 22, 4 मिलेगा। जोकि जोड़ने पर 26 होता है।
= 26 शून्य

Question:- 1 से 100 तक की सभी विषम संख्याओं की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या?

= 1 × 3 × 5 × . . . . . . . 99

विषम संख्याओं की गुणा करने पर एक भी शून्य नहीं प्राप्त होगा क्यूंकि 2 का कोई भी गुणज इन संख्याओं में नहीं होगा? अतः 2 और 5 के जोड़े नहीं बनेंगे।

गुणज और गुणनखंड

गुणज (Multiple):- किसी भी संख्या के गुणनखंड उसके गुणकों के रूप में होंगे। अर्थात किसी भी संख्या के गुणनखंड या तो उस संख्या के बराबर होंगे या फिर उससे बड़े होंगे। जैसे:-

5 के गुणज = 5, 10, 15, . . . . . . . . .. . . n
5 के गुणज = 8, 16, 32, . . . . . . . . .. . . n

0 और 1 को छोड़कर सभी संख्याओं के गुणक अनंत होते हैं।

गुणनखंड (Factor):-

किसी संख्या को अन्य संख्याओं के गुणनफल (product) के रूप में तोडने की क्रिया को गणित में गुणनखण्ड (factorization) कहते हैं। किसी संख्या के गुणनखण्डों को परस्पर गुणा करने पर वह मूल संख्या पुनः प्राप्त हो जाती है। जैसे:-

3 के गुणनखंड = 1 × 3
4 के गुणनखंड = 1 × 4 या 2 × 2 (अतः यहाँ 4 के कुल गुणनखंड 4 होंगे)
5 के गुणनखंड = 1 × 5
10 के गुणनखंड = 2 × 5 या 1 × 10
10 के कुल गुणनखंड = 1, 2, 5, 10
25 के कुल गुणनखंड = 1, 5, 25

Question:- 10 के प्रथम 10 गुणजों की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

= 10 × 20 × 30 × 40 × . . . . . . . . . . .100
= (10 × 1) × (10 × 2) × (10 ×3) × . . . . . . . . . . . . (10 × 10)
= (10 × 10 × 10 × . . . . . . . . 10 बार) × (1 × 2 × 3 × . . . . . . . . . . . 10)
= (10 का 10 बार गुणा करेंगे तो 10 ही शून्य मिलेंगे) × (1 से 10 तक की संख्याओं का गुणा हो रहा है इसलिए)
= 10 शून्य × 10 में 5 का भाग देने पर
= 10 शून्य × 2 शून्य
= 12 शून्य

Question:- 10 के प्रथम 16 गुणजों की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

= 10 × 20 × 30 × 40 × . . . . . . . . . . .160
= अब हम सीधे ही लिख सकते हैं-
= (10 × 10 × 10 × . . . . . . . . 16 बार) × (1 × 2 × 3 × . . . . . . . . . . . 16)
= 16 शून्य × 16 में 5 का भाग देने पर
= 16 शून्य × 3 शून्य
= 19 शून्य

Question:- 10 के प्रथम 100 गुणजों की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

= अब हम सीधे ही लिख सकते हैं-
= 100 शून्य × 100 में 5 का भाग देने पर
= 100 शून्य × 24 शून्य
= 124 शून्य

Question:- 5 के प्रथम 10 गुणजों की गुणा करने पर गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या कितनी होगी?

= 5 × 10 × 15 × 20 × . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
= (5 × 1) × (5 × 2) × (5 ×3) × . . . . . . . . . . . . (5 × 10)
= (5 × 5 × 5 × . . . . . . . . 10बार) × (1 × 2 × 3 × . . . . . . . . . . . 10)
= ध्यान दें ! अब यहाँ 5 और 2 के जोड़े बनाने पर 5 के जोड़ें अधिक बनेगें अर्थात 5 अधिक आएगा 2 कम, अतः अब हम 2 का भाग देकर चेक करेंगे।
= दस बार 5 × आठ बार 2 (10  में 2 का भाग देने पर भागफल = 5 + 2 + 1 = 8)
= 5 और 2 के आठ जोड़ें बनेगे, अर्थात
= 8 शून्य

परीक्षाओं में पूछे गए विविध प्रश्न

Question:- 6² × 15⁴ में शून्यों की संख्या?

= (2 × 3)² × (3 × 5)⁴
= 2² × 3² × 3⁴ × 5⁴
= यहाँ 2 और 5 की घात में 2 की घात कम है अर्थात 2 और 5 के केवल 2 जोड़ें बनेंगे, अर्थात
= 2 शून्य

Question:- 16²⁰ × 25⁵ × 15¹⁰ में शून्यों की संख्या?

= (2 × 2 × 2 × 2)²⁰ × (5 × 5)⁵ × (5 × 3)¹⁰
= (2⁴)²⁰ × (5²)⁵ × (5 × 3)¹⁰
= 2⁸⁰ × 5¹⁰ × 5¹⁰ × 3¹⁰
= 2⁸⁰ × 5^{10 + 10} × 3¹⁰
= 2⁸⁰ × 5²⁰ × 3¹⁰
= 2 और 5 के 20 जोड़े बनेंगे, अर्थात
= 20 शून्य

Question:- 51¹⁰ × 52²⁰ × 53³⁰ × 55⁴⁰ में शून्यों की संख्या?

= इस प्रश्न में 51 और 53 में 2 और 5 के एक भी जोड़े नहीं बनेंगे, अर्थात 51 और 53 ना ही 2 से विभाजित है और ना ही 5 से, अतः इनको छोड़ देंगे।
= 51¹⁰ × 52²⁰ × 53³⁰ × 55⁴⁰
= 52²⁰ × 55⁴⁰
= (2 × 2 × 13)²⁰ × (5 × 11)⁴⁰
= (2² × 13)²⁰ × (5 × 11)⁴⁰
= (2²)²⁰ × 13²⁰ × 5⁴⁰ × 11⁴⁰
= 2⁴⁰ × 5⁴⁰ × 13²⁰ × 11⁴⁰
= 2 और 5 के 40 जोड़े बनेंगे, अर्थात
= 40 शून्य