इकाई का अंक ज्ञात करना – Short trick

इकाई के अंक को ज्ञात करने वाले सवाल लगभग हर परीक्षा में पूछे जाते हैं, यहाँ हम जो ट्रिक बता रहे हैं उससे आप बहुत तेजी से ऐसे प्रश्नों को हल करने में सक्षम हो जाएँगे। ये प्रश्न गणित के संख्या पद्धति चैप्टर में आते हैं।

इकाई का अंक

गणित में किसी संख्या का इकाई का अंक ज्ञात करने करने के लिए दी हुई संख्याओं के इकाई के अंकों की गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए:-

128 × 297 × 562 × 34 में इकाई का अंक क्रमशः 8, 7, 2, 4 हैं जिनका गुणा करने पर हमें 448 प्राप्त होता है जिसके इकाई का अंक 8 हैं। अतः 128 × 297 × 562 × 34 का गुणा करने पर गुणनफल में इकाई का अंक 8 होगा।

नोट:-
ऐसे प्रश्नों को सरल तरीके से करने के लिए पहले कोई दो संख्याओं के इकाई के अंकों की गुणा करते हैं जैसे  8 × 7 = 56.
इस प्राप्त गुणनफल में इकाई के अंक को अगली संख्या के इकाई के अंक से गुणा करते हैं जैसे – 6 × 2 = 12. और यही प्रक्रिया दोहराते हैं।

Question:- 128 × 297 × 562 × 34 में इकाई का अंक क्या है?

= 8 × 7 × 2 × 4 (128 × 297 × 562 × 34 में इकाई का अंक लेने पर)
= 56 × 2 × 4 (प्रथम दो का गुणा करने पर)
= 6 × 2 × 4 (56 में इकाई का अंक लेने पर)
= 12 × 4 (प्रथम दो का गुना करने पर)
= 2 × 4 (12 में इकाई का अंक लेने पर)
= 8 (यही 128 × 297 × 562 × 34 में इकाई का अंक है)

घातांक वाली संख्याओं में इकाई का अंक ज्ञात करना

Rule 1. यदि घातांक के रूप दी हुई किसी संख्या के इकाई का अंक ज्ञात करना हो तो दी हुई संख्या के आधार में इकाई का अंक यदि 0, 1, 5, 6, हों तो उसका मान निकालने पर इकाई का अंक परिवर्तित नहीं होता। अर्थात उनमें इकाई के अंक क्रमशः 0, 1, 5, 6 ही होंगे। उदाहरण के लिए:-

10¹⁹ में इकाई का अंक = 0
58621¹⁹²³ में इकाई का अंक = 1
2965³⁰⁰ में इकाई का अंक = 5

Rule 2. दी हुई संख्या के आधार में इकाई का अंक यदि 0, 1, 5, 6 नहीं है यानि कि 2, 3, 4, 7, 8, 9 हो तो इनका इकाई का अंक निकलने के लिए उनके घात में 4 से भाग देते हैं। और प्राप्त शेषफल को घात के स्थान पर रखकर हल करते हैं। उदाहरण के लिए:-

Question:- 562¹⁹⁹⁹ में इकाई का अंक क्या होगा?

= 1999 में 4 से भाग देने पर शेशफल 3 प्राप्त होगा
= 562³
= 2³
= 8 (यही 562¹⁹⁹⁹ में इकाई का अंक है)

नोट:-
किसी भी संख्या में 4 से भाग देनें पर जो शेषफल प्राप्त होता है वही शेषफल उस संख्या के अंतिम दो अंको से भाग देनें पर प्राप्त होगा। अर्थात यदि हम 1999 में 4 से भाग देंगें तो शेशफल 3 प्राप्त होगा, और हम यदि 1999 के अंतिम दो अंक 99 में 4 से भाग देंगें तो भी शेशफल 3 प्राप्त होगा। अब हम पूरी संख्या में भाग ना देकर सिर्फ अंतिम दो अंको में भाग देकर प्रश्नों को हल करेंगे।

Question:- 567937^189236789 में इकाई का अंक क्या होगा?

= 89 में 4 से भाग देने पर शेशफल 1 प्राप्त होगा
= 7¹
= 7 (यही 567937^189236789 में इकाई का अंक है)

Question:- 23²³ + 27²⁷ में इकाई का अंक क्या होगा?

= 3³ + 7³
= 3 × 3 × 3 + 7 × 7 × 7
= 9 × 3 + 49 × 7
= 27 + 63
= 7 + 3
= 10
= 0 (यही 23²³ + 27²⁷ में इकाई का अंक है)

Question:- 1529¹⁵²⁹ + 2856¹³³¹ में इकाई का अंक क्या होगा?

= 9¹ + 6³ (आधार के इकाई का अंक लेने, तथा घात 29, 31 में 4 भाग देने पर प्राप्त शेषफल लेने पर)
= 9 + 6 × 6 × 6
= 9 + 6
= 15
= 5 (यही 1529¹⁵²⁹ + 2856¹³³³ में इकाई का अंक है)

Rule 3. किसी भी संख्या की घात में भाग देनें पर जब शेषफल शून्य (0) प्राप्त हो इकाई के अंक इस प्रकार निर्धारित होंगे:-

1. संख्या के आधार का इकाई का अंक यदि 2, 4, 8 तब इकाई का अंक = 6
2. संख्या के आधार का इकाई का अंक यदि 3, 7, 9 तब इकाई का अंक = 1

Question:- 29⁹² में इकाई का अंक क्या होगा?

= यहॉं घातांक में भाग देने पर शेशफल शून्य प्राप्त होता है।
= आधार के इकाई का अंक 9 है।
= जैसा कि आप जान चुके हैं कि भागफल शून्य प्राप्त होने पर, संख्या के आधार का इकाई का अंक यदि 3, 7, 9 तब इकाई का अंक = 1
= 1 (यही 29⁹² में इकाई का अंक है)

Question:- 27¹¹ – 23⁹ में इकाई का अंक क्या होगा?

= 7³ – 3¹
= 3 – 3
= 0 (यही 27¹¹ – 23⁹  में इकाई का अंक है)

Rule 4.  यदि घटाने में पहले वाली संख्या छोटी है उस संख्या में 10 जोड़ देंगे, ना कि उत्तर ऋणात्मक होगा। जैसे:-

Question:- 16925⁵²⁹ – 8537¹⁴ में इकाई का अंक क्या होगा?

= 5 – 7²
= 5 – 9 (यहाँ 5, 9 से छोटा है अतः 5 में 10 जोड़ेंगे।)
= 15 – 9
= 6 (यही 16925⁵²⁹ – 8537¹⁴  में इकाई का अंक है)

Question:- 729⁷²⁹ – 23³¹ में इकाई का अंक क्या होगा?

= 9¹ – 3³
= 9 – 7
= 2

Question:- 15729¹⁰⁰⁰ – 2576¹⁵⁰ में इकाई का अंक क्या होगा?

= 1 – 6 (किसी भी संख्या के अंत में 00 होने पर वह संख्या 4 से पूर्णतः विभाजित होगी अर्थात शेषफल शून्य होगा, शून्य होने पर इकाई अंक 1 होगा (Rule 3)। दूसरी संख्या के आधार में इकाई का अंक 6 है जो परिवर्तित नहीं होता (Rule 1)।)
= (10 + 1) – 6 (संख्या बड़ी होने पर 10 जोड़ देते हैं (Rule 4)।)
= 11 – 6
= 5

Rule 5. यदि किसी संख्या का गुणा करने में उसके मध्य में किसी भी रूप में पांच (5) और दो (2) आता है तो उस संख्या के गुणनफल के अंत में शून्य अवश्य प्राप्त होगा। अर्थात इकाई का शून्य (0) होगा।

इस प्रकार हम कह सकते हैं यदि किसी संख्या के मध्य में पांच (5) और दो (2) आता है तो उस संख्या के गुणनफल में इकाई का अंक शून्य होगा।

Question:- 1 से 25 तक सभी संख्याओं का गुणा किया जाये तब इकाई का अंक क्या होगा?

= 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6. . . . . . . . . . 25
= 10 × 1 × 3 × 4 × 6. . . . . . . . . . 25 (5 और 2 का गुणा करने पर)
= 0 (10 में इकाई का अंक 0 है, जब शून्य का अन्य संख्या में गुणा करेंगे तो शून्य ही प्राप्त होगा)

अर्थात गुणा में यदि किसी संख्या के इकाई का अंक शून्य है तो उस संख्या के गुणनफल में इकाई का अंक भी शून्य ही होगा।

और अधिक जानें:-

किसी संख्या के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात करना