द्विपद गुणांक
द्विपद गुणांक संयोजनों की संख्या को परिभाषित करता है जो एक निश्चित आकार के सेट से निश्चित संख्या में परिणाम निकालते समय संभव होते हैं। उनका उपयोग द्विपद प्रमेय में किया जाता है, जो एक द्विपद - एक बहुपद समारोह का विस्तार करने की एक विधि है जिसमें दो पद होते हैं। उदाहरण के लिए, पास्कल का त्रिकोण पूरी तरह से द्विपद गुणांक से बना है।
गणितीय रूप से, द्विपद गुणांक को कोष्ठकों के एक सेट के भीतर लंबवत रूप से संरेखित दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है। शीर्ष संख्या, "एन" द्वारा दर्शाई गई, संभावनाओं की कुल संख्या है। आमतौर पर "आर" या "के" द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, नीचे की संख्या "एन" से चुने जाने वाले अनियोजित परिणामों की संख्या है। दोनों संख्याएं सकारात्मक हैं, और "एन" "आर" से अधिक या बराबर है।
द्विपद गुणांक, या "एन" से प्राप्त किए जाने वाले तरीकों की संख्या "एन" से प्राप्त की जा सकती है। एक फैक्टरियल एक संख्या है जो अगली सबसे छोटी संख्या से अगली सबसे छोटी संख्या के गुणा है, और इसी तरह जब तक कि सूत्र एक तक नहीं पहुंच जाता। यह n के रूप में गणितीय रूप से दर्शाया गया है! = n (n - 1) (n - 2) ... (1)। शून्य तथ्य एक के बराबर है।
एक द्विपद गुणांक के लिए, सूत्र n (n - r) के उत्पाद द्वारा विभाजित n (n!) है। समय r!, जिसे आमतौर पर कम किया जा सकता है। यदि n 5 और r 2 है, उदाहरण के लिए, सूत्र 5 है! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1))। इस स्थिति में, 3 * 2 * 1 अंश और हर दोनों में होता है, इसलिए इसे अंश से रद्द किया जा सकता है। इसका परिणाम (5 * 4) / (2 * 1) है, जो 10 के बराबर है।
द्विपद प्रमेय एक द्विपद समारोह के विस्तार की गणना करने का एक तरीका है, (a + b) ^ n द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है - n a b to nth power; a और b को चर, स्थिरांक या दोनों से बनाया जा सकता है। द्विपद का विस्तार करने के लिए, विस्तार में पहला शब्द n का द्विपद गुणांक है और 0 बार ^ n है। दूसरा शब्द n और 1 बार ^ (n-1) b का द्विपद गुणांक है। विस्तार के प्रत्येक बाद के शब्द की गणना द्विपदीय गुणांक में 1 से नीचे की संख्या को जोड़कर की जाती है, जो उस संख्या की n ऋण की शक्ति को बढ़ाता है, और गुणांक के नीचे की संख्या तक जारी रहता है एन।
पास्कल के त्रिकोण में प्रत्येक संख्या एक द्विपद गुणांक है जिसे द्विपद गुणांक के सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। त्रिकोण शीर्ष बिंदु पर 1 के साथ शुरू होता है, और निचली पंक्ति में प्रत्येक संख्या की गणना इसके ऊपर दो प्रविष्टियों को एक साथ जोड़कर की जा सकती है। पास्कल के त्रिकोण में कई अद्वितीय गणितीय गुण हैं - द्विपद गुणांक के अलावा, इसमें फाइबोनैचि संख्या और आलंकारिक संख्याएं भी हैं।
