निर्धारक
मैट्रिस गणितीय वस्तुएं हैं जो आकृतियों को बदलते हैं। एक वर्ग मैट्रिक्स A का निर्धारक, निरूपित | A |, एक संख्या है जो एक आकृति के आकार और अभिविन्यास पर प्रभाव A को सारांशित करती है। यदि [ ab ] A और [ cd ] के लिए शीर्ष पंक्ति वेक्टर है, तो इसकी निचली पंक्ति वेक्टर है, तो | A | = विज्ञापन-बीसी
एक निर्धारक एक क्षेत्र को कैसे रूपांतरित करता है, इसके बारे में उपयोगी जानकारी संलग्न करता है। निर्धारक का निरपेक्ष मान मैट्रिक्स के पैमाने कारक को इंगित करता है, यह एक आंकड़ा कितना बढ़ाता है या सिकुड़ता है। इसका संकेत बताता है कि क्या मिरर छवि को चित्रित करते हुए मैट्रिक्स फ़्लिप करता है। मैट्रिसेस क्षेत्रों को तिरछा कर सकते हैं और उन्हें घुमा सकते हैं, लेकिन यह जानकारी निर्धारक द्वारा प्रदान नहीं की जाती है।
अंकगणितीय रूप से, मैट्रिक्स की रूपांतरण क्रिया मैट्रिक्स गुणन द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि A शीर्ष पंक्ति [ ab ] और निचला पंक्ति [ cd ] के साथ 2 × 2 मैट्रिक्स है, तो [1 0] * A = [ ab ] और [0 1] * A = [ cd ]। इसका अर्थ यह है कि A बिंदु (1,0, बिंदु) ( a, b ) और बिंदु (0,1) को बिंदु ( c, d ) तक ले जाता है। सभी मैट्रिसेस मूल को छोड़ देते हैं, इसलिए कोई देखता है कि A, त्रिकोण को एंडपॉइंट के साथ (0,0), (0,1) में बदल देता है, और (1,0) एंडपॉइंट पर (0,0) के साथ एक और ट्रायंगल में बदल जाता है, ( a , बी ), और ( सी, डी )। मूल त्रिकोण के लिए इस नए त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात बराबर है | ad-bc |, का पूर्ण मान | A |
मैट्रिक्स के निर्धारक का संकेत बताता है कि क्या मैट्रिक्स एक आकार से अधिक फ़्लिप करता है। त्रिकोण को एंडपॉइंट के साथ (0,0), (0,1) और (1,0) पर विचार करते हुए, यदि मैट्रिक्स A बिंदु पर बिंदु (1,0) लेते समय स्थिर (0,1) स्थिर रखता है। (-1,0), तब यह त्रिभुज को लाइन x पर फ़्लिप कर दिया है x = 0. चूँकि A ने फ़िगर को फ़्लिप किया है, A | नकारात्मक होगा। मैट्रिक्स किसी क्षेत्र का आकार नहीं बदलता है, इसलिए | A | -1 का नियम के अनुरूप होना चाहिए जो कि पूर्ण मूल्य | A | वर्णन करता है कि A कितनी संख्या बढ़ाता है।
मैट्रिक्स अंकगणित साहचर्य कानून का अनुसरण करता है, जिसका अर्थ है कि ( v * A) * B = v * (A * B)। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि पहले मैट्रिक्स ए के साथ एक आकृति को बदलने और फिर मैट्रिक्स बी के साथ आकार को बदलने की संयुक्त कार्रवाई उत्पाद (ए * बी) के साथ मूल आकार को बदलने के बराबर है। इस अवलोकन से कोई भी कटौती कर सकता है कि | A | * | B | = | ए * बी |
समीकरण | ए | * - B | = | ए * बी | एक महत्वपूर्ण परिणाम है जब | ए | = 0. उस मामले में ए की कार्रवाई कुछ अन्य मैट्रिक्स बी द्वारा पूर्ववत नहीं की जा सकती है। यह ध्यान देकर किया जा सकता है कि यदि ए और बी विपरीत थे, तो (ए * बी) न तो किसी क्षेत्र को फैलाता है और न ही फ़्लिप करता है, इसलिए ए * बी | = 1. चूंकि | ए | * - B | = | A * B |, यह अंतिम अवलोकन असंभव समीकरण की ओर जाता है 0 * | B | = 1।
कांउटर क्लेम भी दिखाया जा सकता है: यदि ए नॉनज़ेरो निर्धारक के साथ एक वर्ग मैट्रिक्स है, तो ए में उलटा है । ज्यामितीय रूप से, यह किसी भी मैट्रिक्स की क्रिया है जो एक क्षेत्र को समतल नहीं करता है। उदाहरण के लिए, एक वर्ग खंड में एक वर्ग को स्क्वीज़ करना किसी अन्य मैट्रिक्स द्वारा पूर्ववत किया जा सकता है, जिसे इसका व्युत्क्रम कहा जाता है। ऐसा व्युत्क्रम एक पारस्परिक का मैट्रिक्स एनालॉग है।
