प्राकृतिक लघुगण
प्राकृतिक लघुगणक आधार ई के साथ लघुगणक है। स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर (1550-1617) ने लघुगणक का आविष्कार किया। हालांकि उन्होंने खुद को प्राकृतिक लघुगणक की अवधारणा का परिचय नहीं दिया, लेकिन फ़ंक्शन को कभी-कभी नेपियरियन लघुगणक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग कई वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में किया जाता है।
जॉन नेपियर ने "लॉगरिथम" नाम को ग्रीक शब्द लोगो और एरिथ्मोस के संयोजन के रूप में विकसित किया। अंग्रेजी अनुवाद क्रमशः "अनुपात" और "संख्या" हैं। नेपियर ने लॉगरिथम के सिद्धांत पर काम करते हुए 20 साल बिताए और 1614 में मिर्फी लॉगरिथमोरम कैनोनिस डिस्क्रिप्टियो नामक पुस्तक में अपना काम प्रकाशित किया। शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद लॉगरिथम्स के अद्भुत विवरण का विवरण है ।
प्राकृतिक लघुगणक को आधार ई के लघुगणक के रूप में जाना जाता है, जिसे कभी-कभी नेपियर कॉन्स्टेंट भी कहा जाता है। इस संख्या को यूलर के नंबर के रूप में भी जाना जाता है। "ई" अक्षर का उपयोग लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) को सम्मानित करने के लिए किया जाता है और 1731 में क्रिश्चियन गोल्डबैच को लिखे गए पत्र में पहली बार खुद यूलर द्वारा इस्तेमाल किया गया था।
प्राकृतिक घातांक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम f (x) = e x के रूप में परिभाषित किया जाता है, प्राकृतिक लघुगणक कार्य है। इस फ़ंक्शन को f (x) = ln (x) के रूप में लिखा जाता है। इसी फ़ंक्शन को f (x) = log e (x) के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन मानक अंकन f (x) = ln (x) है।
प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (0, अनंत) है और सीमा (-इनफिनिटी, अनंत) है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ अवतल है, जो नीचे की ओर है। फ़ंक्शन स्वयं बढ़ रहा है, निरंतर और एक-से-एक।
1 का प्राकृतिक लघुगणक 0. के बराबर है। मान लें कि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, तो ln (a * b) ln (a) + ln (b) और ln (a / b) = ln () के बराबर है - एलएन (बी)। यदि b और b धनात्मक संख्याएँ हैं और n एक परिमेय संख्या है, तो ln (a) = n * ln (a) की तुलना में। प्राकृतिक लघुगणक के ये गुण सभी लघुगणकीय कार्यों की विशेषता है।
प्राकृतिक लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की वास्तविक परिभाषा को 1 / t dt के अभिन्न अंग में पाया जा सकता है। इंटीग्रल 1 से x के साथ x> 0. यूलर की संख्या से होता है, e , धनात्मक वास्तविक संख्या को दर्शाता है जैसे 1 से t d का इंटीग्रल 1 से e के बराबर होता है। Euler की संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है और लगभग बराबर होती है से 2.7182818285 है।
एक्स के संबंध में प्राकृतिक लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 1 / x है। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्क्रमानुपाती के संबंध में व्युत्पन्न, प्राकृतिक घातीय फ़ंक्शन, आश्चर्यजनक रूप से फिर से प्राकृतिक घातीय फ़ंक्शन है। दूसरे शब्दों में, प्राकृतिक घातीय कार्य अपने स्वयं के व्युत्पन्न हैं।
