टोपोलॉजी
टोपोलॉजी गणित की एक शाखा है जो सतहों या अमूर्त स्थानों के अध्ययन से संबंधित है, जहां औसत दर्जे की मात्रा महत्वपूर्ण नहीं है। गणित के इस अद्वितीय दृष्टिकोण के कारण, टोपोलॉजी को कभी-कभी रबर शीट ज्यामिति के रूप में संदर्भित किया जाता है, क्योंकि विचाराधीन आकृतियों को असीम रूप से खिंचाव वाली रबड़ शीट पर मौजूद होने की कल्पना की जाती है। ठेठ ज्यामिति में, सर्कल, स्क्वायर और आयत जैसी मौलिक आकृतियाँ सभी गणनाओं का आधार हैं, लेकिन, टोपोलॉजी में, आधार एक निरंतरता और एक दूसरे के सापेक्ष बिंदुओं की स्थिति है।
एक टोपोलॉजिकल मैप में ऐसे बिंदु हो सकते हैं जो एक साथ त्रिकोण के रूप में एक ज्यामितीय आकार बनाएंगे। अंकों के इस संग्रह को एक ऐसे स्थान के रूप में देखा जाता है जो अपरिवर्तित रहता है; हालांकि, चाहे वह किसी भी तरह का हो या मुड़ा हुआ हो, रबड़ की शीट पर बिंदुओं के रूप में, यह अपरिवर्तित रहेगा, चाहे वह किसी भी रूप में क्यों न हो। गणित के लिए इस तरह की वैचारिक रूपरेखा का उपयोग अक्सर उन क्षेत्रों में किया जाता है जहां बड़े या छोटे पैमाने पर विरूपण अक्सर होता है, जैसे कि अंतरिक्ष में गुरुत्वाकर्षण कुएं, एक उप-परमाणु स्तर पर कण भौतिकी विश्लेषण, और जैविक संरचनाओं जैसे कि अध्ययन में। प्रोटीन का आकार बदलना।
टोपोलॉजी की ज्यामिति रिक्त स्थान के आकार के साथ सौदा नहीं करती है, इसलिए एक घन की सतह क्षेत्र में एक टोपोलॉजी के समान क्षेत्र है, जैसा कि एक व्यक्ति कल्पना कर सकता है कि उन्हें एक आकार से दूसरे आकार में स्थानांतरित करने के लिए घुमाया जा सकता है। समान आकार साझा करने वाले ऐसे आकार होमोमोर्फिक के रूप में संदर्भित होते हैं। दो टोपोलॉजिकल आकृतियों का एक उदाहरण जो होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, या एक दूसरे के सदृश नहीं हो सकते हैं, एक गोले और एक टोरस, या डोनट आकार हैं।
परिभाषित स्थानों के मुख्य स्थानिक गुणों की खोज टोपोलॉजी में एक प्राथमिक लक्ष्य है। एक बेस लेवल सेट टॉपोलॉजिकल मैप को यूक्लिडियन स्पेस के सेट के रूप में जाना जाता है। रिक्त स्थान उनके आयामों की संख्या द्वारा वर्गीकृत किए जाते हैं, जहां एक रेखा एक आयाम में एक स्थान है, और दो में एक स्थान है। मनुष्य द्वारा अनुभव किए जाने वाले स्थान को त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान कहा जाता है। रिक्त स्थान के अधिक जटिल सेट को कई गुना कहा जाता है, जो स्थानीय स्तर पर अलग-अलग दिखाई देते हैं, क्योंकि वे बड़े पैमाने पर करते हैं।
मैनिफोल्ड सेट और नॉट थ्योरी सतहों को कई आयामों में समझाने का प्रयास करती है जो एक शाब्दिक मानव स्तर पर विचार करने योग्य है, और रिक्त स्थान उन्हें वर्गीकृत करने के लिए बीजीय आक्रमणकारियों से जुड़े हैं। होमोटोपी सिद्धांत की यह प्रक्रिया, या समान टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच संबंध, हेनरी पॉइंकेरे द्वारा शुरू किया गया था, जो एक फ्रांसीसी गणितज्ञ था, जो 1854 से 1912 तक रहता था। गणितज्ञों ने पॉइनकारे के काम को सभी तीन में साबित कर दिया है, लेकिन तीन, जहां टोपोलॉजी के लिए पूर्ण वर्गीकरण योजनाएं मायावी बनी हुई हैं।
