केंद्रीय सीमा प्रमेय
आंकड़ों में केंद्रीय सीमा प्रमेय बताती है कि बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर का योग या मतलब सामान्य वितरण का अनुमान लगाता है। यह द्विपद वितरण के लिए भी लागू किया जा सकता है। नमूना आकार जितना बड़ा होगा, वितरण सामान्य वितरण के करीब होगा।
सामान्य वितरण, जिसे केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा संपर्क किया जाता है, एक सममित बेल वक्र के आकार का होता है। सामान्य वितरण को माध्य द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसे ग्रीक अक्षर म्यू द्वारा दर्शाया गया है, और मानक विचलन, सिग्मा द्वारा दर्शाया गया है। औसत बस औसत है, और यह वह बिंदु है जिस पर घंटी की वक्र चोटियां हैं। मानक विचलन इंगित करते हैं कि वितरण में चर कैसे फैलते हैं - एक कम मानक विचलन एक संकीर्ण वक्र में परिणाम देगा।
यादृच्छिक चर कैसे वितरित किए जाते हैं यह केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए कोई मायने नहीं रखता है - यदि कोई बड़ा पर्याप्त नमूना आकार है, तो चर का योग या मतलब अभी भी एक सामान्य वितरण का दृष्टिकोण रखेगा। यादृच्छिक चर का नमूना आकार महत्वपूर्ण है क्योंकि राशि या माध्य प्राप्त करने के लिए जनसंख्या से यादृच्छिक नमूने खींचे जाते हैं। दोनों नमूनों की संख्या और उन नमूनों का आकार महत्वपूर्ण है।
यादृच्छिक चर से खींचे गए नमूने से राशि की गणना करने के लिए, पहले एक नमूना आकार चुना जाता है। नमूना का आकार दो के रूप में छोटा हो सकता है, या यह बहुत बड़ा हो सकता है। इसे बेतरतीब ढंग से खींचा जाता है और फिर नमूने में चर एक साथ जोड़ दिए जाते हैं। इस प्रक्रिया को कई बार दोहराया जाता है, और परिणाम एक सांख्यिकीय वितरण वक्र पर चित्रित किए जाते हैं। यदि नमूनों की संख्या और नमूना आकार काफी बड़ा है, तो वक्र सामान्य वितरण के बहुत करीब होगा।
नमूने केंद्रीय सीमा प्रमेय में साधनों के लिए उसी तरह खींचे जाते हैं, लेकिन जोड़ने के बजाय, प्रत्येक नमूने के औसत की गणना की जाती है। एक बड़ा नमूना आकार सामान्य वितरण के करीब परिणाम देता है, और आमतौर पर एक छोटे मानक विचलन में भी परिणाम होता है। रकम के लिए, बड़ी संख्या में नमूने सामान्य वितरण के लिए एक बेहतर सन्निकटन देते हैं।
केंद्रीय सीमा प्रमेय भी द्विपद वितरण पर लागू होता है। द्विपद वितरण का उपयोग केवल दो संभावित परिणामों के साथ घटनाओं के लिए किया जाता है, जैसे कि सिक्का उछालना। इन वितरणों को प्रत्येक परीक्षण के लिए, परीक्षण किए गए n, और सफलता की संभावना, पी, की संख्या द्वारा वर्णित किया गया है। द्विपद वितरण के लिए माध्य और मानक विचलन की गणना n और p के उपयोग से की जाती है। जब n बहुत बड़ा होता है, तो सामान्य वितरण के लिए द्विपद वितरण के लिए माध्य और मानक विचलन समान होंगे।
