स्पर्शरेखा रेखा
एक स्पर्शरेखा रेखा एक रेखा और वक्र के बीच एक ज्यामितीय संबंध है कि वक्र और रेखा आम में केवल एक बिंदु साझा करते हैं। स्पर्शरेखा रेखा हमेशा वक्र के बाहर या उत्तल पक्ष पर होती है। वक्र या सर्कल के अंदर एक स्पर्शरेखा को खींचना असंभव है। स्पर्शरेखा एक बिंदु पर वक्र की ढलान को निर्धारित करती है। वे ज्यामिति, त्रिकोणमिति और कैलकुलस में भूमिका निभाते हैं।
किसी भी वृत्त में अनंत संख्या में स्पर्शरेखाएँ होती हैं। एक सर्कल के चार स्पर्शरेखा जो एक दूसरे से 90 डिग्री अलग हैं, जिसमें एक वर्ग शामिल है जो सर्कल का वर्णन करता है। दूसरे शब्दों में, एक चक्र एक सटीक वर्ग के अंदर खींचा जा सकता है और चार बिंदुओं पर वर्ग को स्पर्श करेगा। यह जानते हुए कि इसमें शामिल कई ज्यामिति समस्याओं को हल करने में उपयोगी है।
क्षेत्रों में एक स्पर्शरेखा रेखा भी हो सकती है, हालांकि स्पर्शरेखा विमान की बात करना अधिक आम है जो क्षेत्र में केवल एक बिंदु साझा करता है। अनंत संख्या में स्पर्शरेखाएं उस बिंदु के चौराहे से गुजर सकती हैं, और सभी स्पर्शरेखा तल के भीतर समाहित होंगी। इन अवधारणाओं का उपयोग वॉल्यूम से संबंधित समस्याओं को हल करने में किया जाता है। एक गोले को घन के भीतर रखा जा सकता है। यदि क्यूब का व्यास क्यूब के किनारे की लंबाई के बराबर होता है, तो यह याद करते हुए कि क्यूब में सभी पक्ष समान हैं, गोलाकार क्यूब के साथ सामान्य रूप से छह अंक साझा करेगा।
त्रिकोणमिति में, त्रिभुज के कोण के स्पर्शरेखा को विपरीत पक्ष की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। त्रिकोण एक वृत्त के केंद्र से दो त्रिज्या की किरणों द्वारा बनता है। पहली किरण त्रिभुज का आधार बनाती है, और दूसरी किरण पहली की स्पर्शरेखा रेखा के साथ प्रतिच्छेद करने के लिए विस्तारित होती है। ढलान को अक्सर रन ओवर के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, दो किरणों को जोड़ने वाली रेखा की स्पर्शरेखा, या ढलान, त्रिकोणमितीय पहचान के समान है।
जब एक वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा रेखा पर विचार किया जाता है, जब तक कि वक्र एक चक्र का चाप नहीं होता है, एक पर्यवेक्षक को चौराहे के बिंदु को नोट करना होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि वक्र निरंतर त्रिज्या का नहीं है। इसका एक उदाहरण बल्ले से हिट होने के बाद बेसबॉल का उड़ान पथ हो सकता है।
गेंद बल्ले से दूर जाएगी लेकिन फिर अपने शीर्ष पर पहुंच जाएगी और गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे उतर जाएगी। उड़ान पथ एक परवलय का आकार होगा। किसी भी बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा उस समय गेंद के वेग का उत्पादन करेगी।
पथरी के अध्ययन के लिए अनिश्चित वक्रता वाले वक्र के ढलान का यह गणितीय वर्णन महत्वपूर्ण है। कैलकुलस एक समय में एक परिवर्तन की तात्कालिक दर को देखने में सक्षम बनाता है। यह प्रक्रियाओं की प्रतिक्रिया दरों को नियंत्रित करने में उपयोगी है, अंतरिक्ष शिल्प प्रक्षेपण के लिए रॉकेट ईंधन की खपत, या बिल्कुल एक बेसबॉल पकड़ने के लिए कहां होना चाहिए।
