इंटीग्रल कैलकुलस
इंटीग्रल कैलकुलस, जिसे इंटीग्रेशन के रूप में भी जाना जाता है, कैलकुलस की दो शाखाओं में से एक है, जिसमें दूसरे का विभेदीकरण होता है। भेदभाव का वर्णन है कि किसी फ़ंक्शन का मान उसके चर के संबंध में कैसे बदलता है। एकीकरण एक प्रतिलोम है, जिसमें यह दो मानों के बीच एक फ़ंक्शन का सटीक योग देता है। इंटीग्रल कैलकुलस गणितीय फ़ंक्शन की वक्र के तहत क्षेत्र की गणना करने का एक सटीक साधन प्रदान करता है। इंटीग्रेशन में भौतिकी और इंजीनियरिंग में कई तरह के एप्लिकेशन हैं।
पथरी के दो अग्रदूत 17 वीं सदी के वैज्ञानिक आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लिबनिज थे। आज जिस गणितीय अंकन का उपयोग किया जाता है वह लाइबनिज के काम पर आधारित है। हालांकि निस्संदेह एक महान वैज्ञानिक, न्यूटन की बहुत प्रतिस्पर्धी और प्रतिज्ञ होने के लिए एक प्रतिष्ठा थी, और वह अपने जर्मन समकालीन के साथ क्रेडिट साझा करने के लिए तैयार नहीं था। न्यूटन ने लंदन में रॉयल सोसाइटी में अपने प्रभाव का इस्तेमाल किया और प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से लाइबनिट्स पर साहित्यिक चोरी का आरोप लगाया। इन आरोपों की वैधता को कभी सत्यापित नहीं किया गया, लेकिन विवाद ने लीबनिज की प्रतिष्ठा को नष्ट कर दिया।
एक गणितीय फ़ंक्शन की वक्र के तहत क्षेत्र के संदर्भ में एकीकरण का सबसे अच्छा वर्णन किया गया है। इस क्षेत्र को समान चौड़ाई के ऊर्ध्वाधर स्ट्रिप्स के योग के रूप में सोचा जा सकता है। कुछ विस्तृत स्ट्रिप्स क्षेत्र के लिए अनुमानित मूल्य देंगे; उनकी चौड़ाई कम करने वाली स्ट्रिप्स की संख्या में वृद्धि इस क्षेत्र के लिए एक अधिक सटीक मूल्य देगी। इंटीग्रल कैलकुलस यह मानकर काम करता है कि कब इन स्ट्रिप्स की चौड़ाई 0 आ जाए, और इसलिए स्ट्रिप्स की संख्या अनंत के करीब पहुंच जाती है। अनंत छोटे स्ट्रिप्स की अनंत संख्या का योग क्षेत्र के लिए सटीक मूल्य देता है।
कलन का उपयोग यह बताने के लिए किया जाता है कि समय (t) के संबंध में कोई फ़ंक्शन (f) कैसे बदलता है। यदि किसी कण का वेग (v) फ़ंक्शन v = f (t) द्वारा परिभाषित किया गया है, तो कितनी दूर तक यात्रा की है, एकीकरण का उपयोग करके काम किया जा सकता है, क्योंकि यह वक्र के नीचे के क्षेत्र के बराबर है। दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच तय की गई दूरी एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके पाई जा सकती है।
अभिन्न कलन के कई अन्य अनुप्रयोग हैं - इतने कि एक विस्तृत सूची बनाना असंभव होगा। भौतिकी में, इसका उपयोग सरल हार्मोनिक गति में घूम रहे शरीर द्वारा किए गए कार्य की गणना करने या गैसों के व्यवहार का वर्णन करने वाले समीकरणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। सिविल या मैकेनिकल इंजीनियर तरल पदार्थों की गति या इन तरल पदार्थों को ले जाने वाले पाइप के तनाव वितरण के विश्लेषण के लिए अभिन्न कलन का उपयोग कर सकते हैं। विद्युत इंजीनियर विद्युतचुंबकीय तरंगों का विश्लेषण करने के लिए अभिन्न कलन का उपयोग करते हैं।
